ヤコビアンとは，変数変換して，違う変数に式を変形するための手段です．まず，
\(\Large \displaystyle x=x(z,w), \ y=y(z,w) \)
を，
\(\Large \displaystyle z=z(x,y), \ w=y(z,w) \)
この作業は，ｘｙ空間の微小面積（2次元の場合）をｚｗ空間の微小面積に変換するための作業となります．ですので，
\(\Large \displaystyle dx \ dy \rightarrow dz \ dw \)
をおこないます．
ｘは，
\(\Large \displaystyle x=x(z,w) \)
ですので，
\(\Large \displaystyle dx=\frac{ \partial x}{ \partial z} dz + \frac{ \partial x}{ \partial w} dw\)
yは，
\(\Large \displaystyle y=y(z,w) \)
ですので，
\(\Large \displaystyle dy=\frac{ \partial y}{ \partial z} dz + \frac{ \partial y}{ \partial w} dw\)
となります，行列で表すと，
\(\Large \displaystyle \begin{pmatrix} \frac{ \partial y}{ \partial z} & \frac{ \partial y}{ \partial w}
\\ \frac{ \partial y}{ \partial z} & \frac{ \partial y}{ \partial w} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} dz\\ dw \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} dx\\ dy \end{pmatrix}\)
つまり，元の単位系でのdxdyの占める面積がdudvの面積と等しい必要があります． 面積は外積で表すことができるので，
\(\Large \displaystyle S = dx \ dy \)
\(\Large \displaystyle = \left( \frac{ \partial x}{ \partial z} dz + \frac{ \partial x}{ \partial w} dw \right)
\left( \frac{ \partial y}{ \partial z} dz + \frac{ \partial y}{ \partial w} dw \right) \)
を求めればいいことになります．．外積の定義は，
\(\Large \displaystyle a \cdot b = \vert a \vert \vert b \vert sin \theta \)
となす角に依存するので同じベクトルはθ=0となるので外積は０となります．
また順番を入れ替えると符号が逆転するので，したがって，
\(\Large \displaystyle S = dx \ dy \)
\(\Large \displaystyle = \left( \frac{ \partial x}{ \partial z} dz + \frac{ \partial x}{ \partial w} dw \right)
\left( \frac{ \partial y}{ \partial z} dz + \frac{ \partial y}{ \partial w} dw \right) \)
\(\Large \displaystyle = \frac{ \partial x}{ \partial z} dz \ \frac{ \partial y}{ \partial w} dw
+
\frac{ \partial x}{ \partial w} dw \ \frac{ \partial y}{ \partial z} dz \)
\(\Large \displaystyle = \frac{ \partial x}{ \partial z} \ \frac{ \partial y}{ \partial w} dzdw
-
\frac{ \partial x}{ \partial w} \ \frac{ \partial y}{ \partial z} dz dw \)
\(\Large \displaystyle = \left( \frac{ \partial x}{ \partial z} \ \frac{ \partial y}{ \partial w}
-
\frac{ \partial x}{ \partial w} \ \frac{ \partial y}{ \partial z} \right) dz dw \)
これは，行列式となるので，
\(\Large \displaystyle = det \begin{vmatrix} \frac{ \partial x}{ \partial z} & \frac{ \partial x}{ \partial w} \\ \frac{ \partial y}{ \partial z} & \frac{ \partial y}{ \partial w} \end{vmatrix} dz dw \)
となります．